Matrix/2x2/Kein Ringhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.}$

Für einen Ringhomomorphismus müsste

${\displaystyle {}\varphi {\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)}=1\,}$

und

${\displaystyle {}\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\right)}=0\,}$

gelten. Die Bedingung

${\displaystyle {}\varphi {\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right)}\cdot \varphi {\left({\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)}=0\,}$

erzwingt

${\displaystyle {}\varphi {\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right)}=0\,}$

oder

${\displaystyle {}\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)}=0\,,}$

ohne Einschränkung sei das erste der Fall. Wegen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,}$

und wegen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,}$

ist

${\displaystyle {}\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\right)}=\pm 1\,}$

und somit ist

${\displaystyle {}\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\right)}=\varphi {\left({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}=0\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,}$