Matrix/4x4/Ähnlich/9 Nullen/Aufgabe/Lösung

Wenn es einen Vektor ${\displaystyle {}u\neq 0}$ derart gibt, dass die Vektoren ${\displaystyle {}u,\varphi (u),\varphi ^{2}(u),\varphi ^{3}(u)}$ eine Basis bilden, so wird ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich dieser Basis durch eine Matrix der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&x\\1&0&0&y\\0&1&0&z\\0&0&1&w\end{pmatrix}}}$

beschrieben. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn es keinen nichttrivialen ${\displaystyle {}\varphi }$-invarianten Untervektorraum gibt. In diesem Fall kann man jeden Vektor ${\displaystyle {}u\neq 0}$ nehmen.

Wir können also davon ausgehen, dass zu jedem Vektor ${\displaystyle {}u\neq 0}$ die sukzessiven Bildvektoren ${\displaystyle {}u,\varphi (u),\varphi ^{2}(u),\ldots }$ in einem höchstens dreidimensionalen invarianten Untervektorraum liegen.

Betrachten wir den Fall, dass es einen eindimensionalen invarianten Untervektorraum gibt, also einen Eigenvektor ${\displaystyle {}u}$, mit Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda }$. Das charakteristische Polynom sei

${\displaystyle {}\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}\cdot P\,}$

mit

${\displaystyle {}P(\lambda )\neq 0\,.}$

Nach Fakt gibt es eine direkte Summenzerlegung

${\displaystyle {}K^{4}=H\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,}$

in ${\displaystyle {}\varphi }$-invariante Untervektorräume, wobei ${\displaystyle {}H=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )}$ der Hauptraum zu ${\displaystyle {}\lambda }$ ist. Je nach der Dimension dieses Hauptraumes ist die beschreibende Matrix gleich einer Blockmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0&0&0\\0&a&b&c\\0&d&e&f\\0&g&h&i\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&a&b\\0&0&c&d\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &1&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&a\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &1&0\\0&0&\lambda &1\\0&0&0&\lambda \end{pmatrix}}.}$

Im ersten Fall kann man in der ${\displaystyle {}3\times 3}$-Blockmatrix vier Nullen erreichen.

Es gebe also keinen Eigenwert.

Wenn es einen dreidimensionalen ${\displaystyle {}\varphi }$-invarianten Untervektorraum gibt, so hat eine beschreibende Matrix, die eine Basis dieses Raumes verwendet, die Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&x\\d&e&f&y\\g&h&i&z\\0&0&0&w\end{pmatrix}}.}$

Doch dann zeigt das charakteristische Polynom, dass ${\displaystyle {}w}$ ein Eigenwert ist, was wir schon behandelt haben.

Wenn es einen zweidimensionalen ${\displaystyle {}\varphi }$-invarianten Untervektorraum ${\displaystyle {}U}$ gibt, so betrachten wir ein ${\displaystyle {}v\notin U}$. Dann erzeugt ${\displaystyle {}v,\varphi (v)}$ ebenfalls einen zweidimensionalen ${\displaystyle {}\varphi }$-invarianter Untervektorraum ${\displaystyle {}W}$. Bei ${\displaystyle {}U\cap W\neq 0}$ würde es wieder einen eindimensionalen invarianten Untervektorraum geben, also einen Eigenwert.

Daher ist ${\displaystyle {}U\cap W=0}$ und damit

${\displaystyle {}K^{4}=U\oplus W\,.}$

Bezüglich Basen für diese Untervektorräume wird ${\displaystyle {}\varphi }$ durch die Blockmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&0&0\\c&d&0&0\\0&0&x&y\\0&0&z&w\end{pmatrix}}}$