Matrix/4x4/Zyklischer Vektor/Aufgabe

Wir betrachten die reelle Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,}$

und den Vektor

${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}\,.}$

a) Berechne die Bilder

${\displaystyle Mv,M^{2}v,M^{3}v,M^{4}v.}$

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}v,Mv,M^{2}v,M^{3}v}$ eine Basis von ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ ist.

c) Bestimme die beschreibende Matrix bezüglich der Basis aus b).