Matrix/4x4/Zyklischer Vektor/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{3}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}^{4}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}\,.}$

b) Es ist

${\displaystyle {}v+M^{2}v={\begin{pmatrix}2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {}Mv+M^{3}v={\begin{pmatrix}2\\-2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {}v-M^{2}v={\begin{pmatrix}0\\0\\4\\0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}Mv-M^{3}v={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\end{pmatrix}}\,.}$

Da dies eine Basis ist, ist auch die Ausgangsfamilie eine Basis.

c) Bezüglich der neuen Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$