Matrizenmultiplikation/Injektiv und surjektiv/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}m,n,p\in \mathbb {N} _{+}}$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \Psi \colon \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)\times \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times p}(K),\,(A,B)\longmapsto A\circ B,}$

die einem Paar, bestehend aus einer ${\displaystyle {}m\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}A}$ und einer ${\displaystyle {}n\times p}$-Matrix ${\displaystyle {}B}$ ihr Matrixprodukt ${\displaystyle {}A\circ B}$ zuordnet.

a) Gibt es Situationen, wo ${\displaystyle {}\Psi }$ injektiv ist?

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}\Psi }$ bei ${\displaystyle {}p=1}$ surjektiv ist.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}\Psi }$ bei ${\displaystyle {}m=n=p}$ surjektiv ist.

d) Beschreibe eine Situation, wo ${\displaystyle {}\Psi }$ nicht surjektiv ist.