Matrizenmultiplikation/Injektiv und surjektiv/Aufgabe/Lösung

a) ${\displaystyle {}\Psi }$ ist nie injektiv. Für ${\displaystyle {}A=0}$ ist für alle Matrizen ${\displaystyle {}B}$ das Produkt ${\displaystyle {}A\circ B=0}$.

b) Es sei ${\displaystyle {}C}$ eine vorgegebene ${\displaystyle {}m\times 1}$-Matrix, also ein Spaltenvektor. Wir wählen für ${\displaystyle {}B}$, die ja eine ${\displaystyle {}n\times 1}$-Matrix sein muss, den ersten Standardvektor. Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}m\times n}$-Matrix, deren erste Spalte gleich ${\displaystyle {}C}$ ist. Dann ist

${\displaystyle {}A\circ B=C\,.}$

c) Wir können ${\displaystyle {}A}$ als die Einheitsmatrix wählen. Dann liegt jede Matrix ${\displaystyle {}C}$ wegen

${\displaystyle {}A\circ C=C\,}$

im Bild.

d) Es sei ${\displaystyle {}m=p=2}$, ${\displaystyle {}n=1}$. Die Matrixmultiplikation hat dann die Form

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\circ \left(c,\,d\right)={\begin{pmatrix}ac&ad\\bc&bd\end{pmatrix}}\,.}$

Die Einheitsmatrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ liegt nicht im Bild. Wegen ${\displaystyle {}ac=1=bd}$

${\displaystyle {}\neq 0}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}ac&ad\\bc&bd\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}0}$