Mengenabstand/Kreis/Verschiedene Normen/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle {}B}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}\vert {x}\vert }$

${\displaystyle {}\vert {y}\vert }$

${\displaystyle {}x=y={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}$

ist dieser Abstand gleich ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ und dies ist der Abstand zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$. Er wird in den vier Punkten ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}$ angenommen.

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle {}B}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}\vert {x}\vert +\vert {y}\vert =\vert {x}\vert +{\sqrt {1-x^{2}}}\,.}$

Wir behaupten, dass das Minimum über alle ${\displaystyle {}x}$ für ${\displaystyle {}x=0}$ oder ${\displaystyle {}x=\pm 1}$ angenommen wird, der Abstand zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ ist also gleich ${\displaystyle {}1}$ und er wird in den vier Punkten ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\pm 1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\\pm 1\end{pmatrix}}}$ angenommen. Für ${\displaystyle {}x}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ ist nämlich

${\displaystyle {}x+{\sqrt {1-x^{2}}}\geq 1\,,}$

da dies äquivalent zu

${\displaystyle {}{\sqrt {1-x^{2}}}\geq 1-x\,}$

und zu

${\displaystyle {}1-x^{2}\geq {\left(1-x\right)}^{2}=1+x^{2}-2x\,}$

bzw. zu

${\displaystyle {}x^{2}\leq x\,}$

äquivalent ist, was in diesem Intervall stimmt.