Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt/Beweis

Der surjektive Monoidhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}\longrightarrow M=\mathbb {N} ^{n}/\sim }$

induziert nach Fakt und Fakt einen surjektiven ${\displaystyle {}R}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon R[\mathbb {N} ^{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R[M].}$

Wir müssen zeigen, dass der Kern dieser Abbildung gleich dem von den binomialen Polynomen ${\displaystyle {}X^{\mu }-X^{\nu }}$ zu ${\displaystyle {}\mu \sim \nu }$ in ${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{n}}$ erzeugten Ideal ist. Diese werden auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet und gehören somit zum Kern.

Die andere Inklusion beweisen wir mittels einer Wohlordnung auf ${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{n}}$, z.B. der gradlexikographischen Ordnung. Zunächst besitzt jedes Element aus ${\displaystyle {}M}$ einen eindeutig bestimmten minimalem Repräsentanten aus ${\displaystyle {}\mathbb {N} ^{n}}$. Wir beweisen die Inklusion

${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi \subseteq {\left(X^{\mu }-X^{\nu }{|}\mu \sim \nu \right)}\,}$

durch Induktion über die Wohlordnung, bezogen auf das Leitmonom zu einem Polynom ${\displaystyle {}F\in \operatorname {kern} \varphi }$. Der Induktionsanfang ist klar, da Monome und erst recht einzelne Variablen im Monoidring nicht ${\displaystyle {}0}$ sind. Sei

${\displaystyle {}F=a_{\mu }X^{\mu }+{\text{ Summe kleinerer Monome}}\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}\mu }$ der kleinste Vertreter in seiner Äquivalenzklasse wäre, so könnte sich ${\displaystyle {}a_{\mu }X^{\mu }}$ nicht mit anderen Termen in ${\displaystyle {}R[M]}$ wegheben. Also ist ${\displaystyle {}\mu \sim \nu }$ mit einem kleineren Monom ${\displaystyle {}\nu }$ und somit kann man

${\displaystyle {}F=a_{\mu }(X^{\mu }-X^{\nu })+{\left(F-a_{\mu }(X^{\mu }-X^{\nu })\right)}\,}$

schreiben. Der linke Summand gehört zum binomialen Ideal, der rechte Summand gehört zum Kern und gehört somit aufgrund der Induktionsvoraussetzung ebenfalls zum binomialen Ideal.