Monoidring/Z nach Z/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {Z} ]\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X,X^{-1}]\right)}=K^{\times }\,}$

und die Spektrumabbildung ist

${\displaystyle K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{n}.}$

b) Das Urbild zu ${\displaystyle {}y\in K^{\times }}$ ist

${\displaystyle {\left\{x\in K^{\times }\mid x^{n}=y\right\}}.}$

Bei ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen und ${\displaystyle {}n>0}$ besitzt eine solche Gleichung stets eine Lösung in ${\displaystyle {}K}$, die bei ${\displaystyle {}y\neq 0}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ sein kann. Bei ${\displaystyle {}n<0}$ kann man die Situation invertieren.

c) Die Anzahl der Urbilder ist stets gleich ${\displaystyle {}\vert {n}\vert }$. Aufgrund des Isomorphismus

${\displaystyle K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{-1},}$

kann man ${\displaystyle {}n}$ als positiv annehmen. Mehr als ${\displaystyle {}n}$ Lösungen kann es wegen Fakt nicht geben. Es seien ${\displaystyle {}\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}}$ die ${\displaystyle {}n}$-ten komplexen Einheitswurzeln. Wenn ${\displaystyle {}x^{n}=y}$ ist, so ist auch

${\displaystyle {}(\zeta x)^{n}=y\,}$

und somit gibt es die ${\displaystyle {}n}$ (verschiedenen, da ${\displaystyle {}x\neq 0}$)

${\displaystyle {}\zeta _{1}x,\ldots ,\zeta _{n}x}$