Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt/Beweis

${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$. Es sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ irreduzibel und ${\displaystyle {}P(x)=0}$. Dann ist ${\displaystyle {}P}$ nach Fakt das Minimalpolynom zu ${\displaystyle {}x}$. Nach (1) gibt es ein über ${\displaystyle {}L}$ zerfallendes Polynom ${\displaystyle {}F}$ mit ${\displaystyle {}F(x)=0}$. Da ${\displaystyle {}F}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}P}$ ist, muss auch ${\displaystyle {}P}$ über ${\displaystyle {}L}$ zerfallen.
${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (1)}$. Zu ${\displaystyle {}x\in L}$ gehört das Minimalpolynom ${\displaystyle {}P}$, das nach Fakt irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über ${\displaystyle {}L}$ in Linearfaktoren zerfällt.
${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (3)}$. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
${\displaystyle {}(3)\Rightarrow (4)}$. Seien ${\displaystyle {}L\subseteq M}$ und ${\displaystyle {}\varphi \colon L\rightarrow M}$ gegeben. Es sei ${\displaystyle {}x_{i}\in L}$ ein Element aus der erzeugenden Familie und sei ${\displaystyle {}F_{i}\neq 0}$ das zugehörige zerfallende Polynom mit ${\displaystyle {}F_{i}(x)=0}$, das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist

${\displaystyle {}F_{i}(\varphi (x_{i}))=\varphi (F_{i}(x_{i}))=\varphi (0)=0\,,}$

daher ist ${\displaystyle {}\varphi (x_{i})\in M}$ eine Nullstelle des über ${\displaystyle {}L}$ zerfallenden Polynoms ${\displaystyle {}F_{i}}$. Das heißt aber, dass ${\displaystyle {}\varphi (x_{i})\in L}$ ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle ${\displaystyle {}x\in L}$, da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
${\displaystyle {}(4)\Rightarrow (2)}$. Es sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ irreduzibel und sei ${\displaystyle {}x\in L}$ mit ${\displaystyle {}P(x)=0}$. Wir können nach Fakt annehmen, dass ${\displaystyle {}P}$ das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}x}$ ist. Wir setzen ${\displaystyle {}x_{1}=x}$ und ergänzen dies zu einem endlichen ${\displaystyle {}K}$-Algebraerzeugendensystem von ${\displaystyle {}L}$, sagen wir

${\displaystyle {}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}P_{1}=P,P_{2},\ldots ,P_{n}}$ die Minimalpolynome von ${\displaystyle {}x_{i}}$ über ${\displaystyle {}K}$. Wir betrachten das Produkt ${\displaystyle {}F=P_{1}\cdots P_{n}}$ und den Zerfällungskörper ${\displaystyle {}M}$ von ${\displaystyle {}F}$ über ${\displaystyle {}L}$, der zugleich der Zerfällungskörper über ${\displaystyle {}K}$ ist. Es sei ${\displaystyle {}y\in M}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}P}$. Wir müssen ${\displaystyle {}y\in L}$ zeigen. Es gibt einen ${\displaystyle {}K}$-Isomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon K[x]\cong K[X]/(P)\longrightarrow K[y]}$

mit ${\displaystyle {}\varphi (x)=y}$. Der Körper ${\displaystyle {}M}$ ist der Zerfällungskörper von ${\displaystyle {}F}$ über ${\displaystyle {}K[x]}$ als auch über ${\displaystyle {}K[y]}$. Daher gibt es nach Fakt ein kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}K[x]&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&K[y]&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

mit einem ${\displaystyle {}K}$-Isomorphismus ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$. Nach Voraussetzung ist dabei ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}(L)\subseteq L}$, also ist ${\displaystyle {}y=\varphi (x)\in L}$.