Partiell differenzierbar/Sonst keine Richtungsableitung/Aufgabe/Lösung

Es sei

${\displaystyle {}f(x,y):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x=0{\text{ oder }}y=0\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,}$

Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren ${\displaystyle {}e_{1}}$ bzw. ${\displaystyle {}e_{2}}$. Für jeden Richtungsvektor ${\displaystyle {}v=(a,b)}$ geht es um die Existenz des Limes

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((0,0)+tv)}{t}}=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((ta,tb))}{t}}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}a=0}$ oder ${\displaystyle {}b=0}$ ist der Zähler konstant gleich ${\displaystyle {}0}$, sodass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ beide nicht ${\displaystyle {}0}$ sind, so ist

${\displaystyle {}f((ta,tb))=1\,}$

und dann existiert der Limes

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((ta,tb))}{t}}=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\,}$