Permutationsmatrix/Zykel/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe

Wir betrachten die Permutationsmatrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.

a) Bestimme das charakteristische Polynom ${\displaystyle {}\chi _{M}}$ von ${\displaystyle {}M}$.

b) Bestimme die Faktorzerlegung von ${\displaystyle {}\chi _{M}}$. Was sind die Eigenwerte von ${\displaystyle {}M}$?

c) Bestimme die Eigenräume zu den Eigenwerten von ${\displaystyle {}M}$.

d) Bestimme die direkte Summenzerlegung von ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ in ${\displaystyle {}M}$-invariante Untervektorräume, die der Faktorzerlegung von ${\displaystyle {}\chi _{M}}$ entspricht.

e) Bestimme zu einer Basis, die sich aus Basen der einzelnen invarianten Untervektorräume zusammensetzt, die beschreibende Matrix.