Permutationsmatrix/Zykel/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}X&0&0&0\\0&X&0&0\\0&0&X&0\\0&0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X&0&0&-1\\-1&X&0&0\\0&-1&X&0\\0&0&-1&X\end{pmatrix}}\,,}$

das charakteristische Polynom ist also ${\displaystyle {}X^{4}-1}$.

b) Es sind ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}-1}$ Nullstellen, dies führt zur Faktorzerlegung

${\displaystyle {}X^{4}-1=(X-1)(X+1)(X^{2}+1)\,,}$

der Faktor rechts ist reell nullstellenfrei und lässt sich nicht weiter zerlegen. Die Eigenwerte sind ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}-1}$.

c) Aufgrund der Faktorzerlegung sind die beiden Eigenräume eindimensional. Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}1}$ ist ${\displaystyle {}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}}$. Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}-1}$ ist der Kern von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&-1\\-1&-1&0&0\\0&-1&-1&0\\0&0&-1&-1\end{pmatrix}},}$

das ist ${\displaystyle {}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$.

d) Wir bestimmen den Kern der Matrix, die entsteht, wenn man in ${\displaystyle {}X^{2}+1}$ die Matrix einsetzt. Wegen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\,}$

geht es um

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Der Kern ist durch die beiden Erzeuger ${\displaystyle {}e_{1}-e_{3}}$ und ${\displaystyle {}e_{2}-e_{4}}$ gegeben, der zum Faktor ${\displaystyle {}X^{2}+1}$ zugehörige invariante Untervektorraum ist also

${\displaystyle {}U=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}\oplus \mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}}\,.}$

Die direkte Summenzerlegung ist also

${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\oplus \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}\oplus U\,.}$

e) Bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}}}$ ist die beschreibende Matrix gleich

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$