Positive reelle Zahlen/Sonderbare Verknüpfungen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${\displaystyle {}e}$, also die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,z\longmapsto e^{z}.}$

Diese Abbildung ist bijektiv, da wir den Bildbereich entsprechend eingeschränkt haben, mit dem natürlichen Logarithmus als Umkehrabbildung. Unter dieser Abbildung gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (z+w)&=e^{w+z}\\&=e^{w}\cdot e^{z}\\&=\varphi (w)\oplus \varphi (z),\end{aligned}}}$

d.h. die Addition ${\displaystyle {}+}$ wird auf die neue Addition ${\displaystyle {}\oplus }$ abgebildet, und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (z\cdot w)&=e^{z\cdot w}\\&=e^{(\ln e^{z})(\ln e^{w})}\\&=e^{z}\otimes e^{w}\\&=\varphi (z)\otimes \varphi (w),\end{aligned}}}$

d.h. die Multiplikation ${\displaystyle {}\cdot }$ wird auf die neue Addition ${\displaystyle {}\otimes }$ abgebildet. Unter dieser Abbildung bleiben alle Gesetzmäßigkeiten erhalten, deshalb ist ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}}$ mit den neuen Verknüpfungen ebenfalls ein Körper. Die neutralen Elemente sind die Bilder der neutralen Elemente, d.h. die ${\displaystyle {}1}$ ist neutrales Element der neuen Addition und ${\displaystyle {}e}$ ist neutrales Element der neuen Multiplikation.