Projektive ebene Kurve/Glattheit/Homogenes Kriterium/Aufgabe/Lösung

Partielles Ableiten bezüglich einer Variablen ${\displaystyle {}X}$ und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen ${\displaystyle {}Y}$ sind vertauschbar.

Es sei ${\displaystyle {}P\in V_{+}(F)}$ ein Punkt der Kurve. Dieser Punkt liegt in einer der offenen affinen Mengen ${\displaystyle {}D_{+}(X),D_{+}(Y)}$ oder ${\displaystyle {}D_{+}(Z)}$, auf der wir die Glattheit testen können. Ohne Einschränkung können wir ${\displaystyle {}P\in D_{+}(X)}$ annehmen. Wir schreiben ${\displaystyle {}P=(1,b,c)}$. Es sei ${\displaystyle {}G}$ die inhomogene Gleichung der Kurve, die aus ${\displaystyle {}F}$ entsteht, indem man ${\displaystyle {}X}$ gleich ${\displaystyle {}1}$ setzt. Wenn ${\displaystyle {}P}$ ein glatter Punkt von ${\displaystyle {}V(G)}$ ist, so bedeutet dies, dass die beiden partiellen Ableitungen ${\displaystyle {}{\frac {\partial G}{\partial Y}}}$ und ${\displaystyle {}{\frac {\partial G}{\partial Z}}}$ nicht simultan im Punkt ${\displaystyle {}P=(a,b)}$ verschwinden. Sagen wir

${\displaystyle {}{\frac {\partial G}{\partial Y}}(P)\neq 0\,.}$

Nach der Vorbemerkung ist dann auch

${\displaystyle {}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b,1)={\frac {\partial G}{\partial Y}}(a,b)\neq 0\,}$

und das homogene Ableitungskriterium ist erfüllt.

Wenn umgekehrt das homogene Kriterium erfüllt ist, und

${\displaystyle {}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b,1)\neq 0\,}$

(bzw. die partielle Ableitung nach ${\displaystyle {}Z}$), so ergibt sich direkt

${\displaystyle {}{\frac {\partial G}{\partial Y}}(P)\neq 0\,.}$

Nach Aufgabe ist

${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(F)\cdot F=X{\frac {\partial F}{\partial X}}+Y{\frac {\partial F}{\partial Y}}+Z{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,.}$

Dies bedeutet, dass wenn die partiellen Ableitungen ${\displaystyle {}{\frac {\partial F}{\partial Y}}}$ und ${\displaystyle {}{\frac {\partial F}{\partial Z}}}$

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {}{\frac {\partial F}{\partial X}}}$