Projektive ebene Kurve/Glattheit/Homogenes Kriterium/Aufgabe

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

${\displaystyle {}V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,}$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$ genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

${\displaystyle \left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}},\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}$

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich ${\displaystyle {}0}$ sind.