Projektiver Raum/K-Punkt/Lokaler Ring/Unabhängig/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{n}}$ der projektive Raum der Dimension ${\displaystyle {}n}$ über dem Körper ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}P=\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}}$ ein Punkt davon mit ${\displaystyle {}a_{i},a_{j}\neq 0}$, also ${\displaystyle {}P\in D_{+}(X_{i})\cap D_{+}(X_{j})}$. Die affinen Koordinaten des Punktes in ${\displaystyle {}D_{+}(X_{i})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ sind ${\displaystyle {}\left({\frac {a_{0}}{a_{i}}},\,{\frac {a_{1}}{a_{i}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{i-1}}{a_{i}}},\,{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{n}}{a_{i}}}\right)}$ und die affinen Koordinaten des Punktes in ${\displaystyle {}D_{+}(X_{j})\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ sind ${\displaystyle {}\left({\frac {a_{0}}{a_{j}}},\,{\frac {a_{1}}{a_{j}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{j-1}}{a_{j}}},\,{\frac {a_{j+1}}{a_{j}}},\,\ldots ,\,{\frac {a_{n}}{a_{j}}}\right)}$. Wir setzen den Polynomring zu ${\displaystyle {}D_{+}(X_{i})}$ als ${\displaystyle {}S_{i}=K[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]}$ (als Unterring des rationalen Funktionenkörpers ${\displaystyle {}K(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})}$) und entsprechend den Polynomring zu ${\displaystyle {}D_{+}(X_{j})}$ als

${\displaystyle {}S_{j}=K[{\frac {X_{0}}{X_{j}}},{\frac {X_{1}}{X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{j-1}}{X_{j}}},{\frac {X_{j+1}}{X_{j}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{j}}}]\,}$

an. Zeige, dass der lokale Ring von ${\displaystyle {}P}$ in ${\displaystyle {}D_{+}(X_{i})}$ mit dem lokalen Ring von ${\displaystyle {}P}$ in ${\displaystyle {}D_{+}(X_{j})}$ als Unterring von ${\displaystyle {}K(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})}$ übereinstimmt.