Quadratabbildung/Linear/F 2/Aufgabe

Wir betrachten die Quadratabbildung

${\displaystyle \varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{2},}$

für verschiedene Körper ${\displaystyle {}K}$.

a) Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ linear für

${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} \,?}$

b) Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ linear für

${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)\,,}$

dem Körper mit zwei Elementen.

c) Es sei nun ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, in dem ${\displaystyle {}2=1+1=0}$ gelte, und der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ linear? Ist ${\displaystyle {}\varphi }$ verträglich mit der Addition?