Quadratabbildung/Linear/F 2/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${\displaystyle {}\varphi (1+1)=\varphi (2)=4\neq 1+1=\varphi (1)+\varphi (1)\,,}$

somit ist ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ nicht linear.

b) Für den Körper mit zwei Elementen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}}$ ist ${\displaystyle {}\varphi (0)=0}$ und ${\displaystyle {}\varphi (1)=1}$. Also ist ${\displaystyle {}\varphi }$ die Identität und somit linear.

c) Es ist

${\displaystyle {}\varphi (u+v)=(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}=u^{2}+v^{2}=\varphi (u)+\varphi (v)\,,}$

daher erfüllt ${\displaystyle {}\varphi }$ die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes ${\displaystyle {}s\in K}$

${\displaystyle {}s^{2}=\varphi (s)=\varphi (s1)=s\varphi (1)=s1=s\,.}$

In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung

${\displaystyle {}s^{2}=s\,}$