Quadratische Funktion/Zwei Variablen/Nullpunkt/Hauptkrümmungsrichtungen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt, wobei im Nullpunkt der Vorfaktor gleich ${\displaystyle {}1}$ ist und somit die Weingartenabbildung direkt durch die Hesse-Matrix beschrieben wird. Die Hesse-Matrix der Funktion ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2a&c\\c&2b\end{pmatrix}},}$

das charakteristische Polynom davon ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(t-2a)(t-2b)-c^{2}&=t^{2}-2(a+b)t+4ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-(a+b)^{2}+4ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab-c^{2}\\&={\left(t-(a+b)\right)}^{2}-(a-b)^{2}-c^{2}.\end{aligned}}}$

Die Eigenwerte (und dies sind die Hauptkrümmungen) sind also

${\displaystyle {}\lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b\,.}$

Bei ${\displaystyle {}a=b}$ und ${\displaystyle {}c=0}$ ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit ${\displaystyle {}2a}$ und jeder Vektor ist ein Eigenvektor, sei dies jetzt ausgeschlossen. Für

${\displaystyle {}\lambda _{1}={\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b\,}$

ist der Kern der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+b-a&-c\\-c&{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\end{pmatrix}}}$

zu bestimmen, dieser ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\\c\end{pmatrix}}.}$

Eine Hauptkrümmungsrichtung ist also ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\\c\end{pmatrix}}}$ mit der Hauptkrümmung ${\displaystyle {}{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b}$.

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-c\\{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a-b\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}-{\sqrt {(a-b)^{2}+c^{2}}}+a+b}$