Quadratische Körpererweiterung/R/Isomorphie/Aufgabe/Lösung

Wir setzen die beiden Ringe zueinander in Bezug, indem wir zeigen, dass beide Ringe isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ sind (daher sind sie auch Körper). Das definierende Polynom zu ${\displaystyle {}K}$ schreiben wir als

${\displaystyle {}X^{2}+3X+5={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+5-{\frac {9}{4}}={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\frac {11}{4}}\,.}$

Das Element (die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}K}$ sei ${\displaystyle {}x}$) ${\displaystyle {}u=x+{\frac {3}{2}}}$ besitzt also die Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich ${\displaystyle {}-{\frac {11}{4}}}$ ist, und dies bedeutet, dass das Quadrat von ${\displaystyle {}{\frac {2}{\sqrt {11}}}u}$ gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist (d.h. dass ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {11}}}u}$ in ${\displaystyle {}K}$ die Rolle von ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ spielt). Das definierende Polynom zu ${\displaystyle {}L}$ schreiben wir als

${\displaystyle {}Y^{2}+4Y+7={\left(Y+2\right)}^{2}+7-4={\left(Y+2\right)}^{2}+3\,.}$

Das Element ${\displaystyle {}v=y+2}$ besitzt also die Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich ${\displaystyle {}-3}$ ist, und dies bedeutet, dass das Quadrat von ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {3}}}v}$ gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist.

Mit dem Ansatz, dass sich die beiden Elemente, deren Quadrat gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist, entsprechen sollten, gelangt man zur Korrespondenz

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x&=u-{\frac {3}{2}}\\&\sim {\frac {\sqrt {11}}{2}}{\mathrm {i} }-{\frac {3}{2}}\\&\sim {\frac {\sqrt {11}}{2}}{\frac {1}{\sqrt {3}}}v-{\frac {3}{2}}\\&={\frac {\sqrt {11}}{2{\sqrt {3}}}}{\left(y+2\right)}-{\frac {3}{2}}\\&={\frac {\sqrt {11}}{2{\sqrt {3}}}}y+{\frac {\sqrt {11}}{\sqrt {3}}}-{\frac {3}{2}}\\&={\frac {\sqrt {11}}{2{\sqrt {3}}}}y+{\frac {2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}}}.\end{aligned}}}$

Deshalb gehen wir vom Einsetzungshomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} [X]\longrightarrow \mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+4Y+7\right)},\,X\longmapsto {\frac {\sqrt {11}}{2{\sqrt {3}}}}y+{\frac {2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}}},}$

aus. Dieser ist surjektiv, da ${\displaystyle {}y}$ getroffen wird. Der Kern muss aufgrund der bisherigen Überlegungen gleich ${\displaystyle {}{\left(X^{2}+3X+5\right)}}$ sein. Dies kann man auch direkt aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\varphi {\left(X^{2}+3X+5\right)}\\&=\left({\frac {{\sqrt {11}}y+2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}}}\right)^{2}+3{\left({\frac {{\sqrt {11}}y+2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}}}\right)}+5\\&={\frac {11y^{2}+{\left(44-6{\sqrt {33}}\right)}y+{\left(2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}\right)}^{2}+6{\sqrt {33}}y+12{\sqrt {33}}-54+60}{12}}\\&={\frac {11y^{2}+44y+44+27-12{\sqrt {33}}+12{\sqrt {33}}+6}{12}}\\&={\frac {11y^{2}+44y+77}{12}}\\&={\frac {11}{12}}{\left(y^{2}+4y+7\right)}\\&=0\,\end{aligned}}}$

ablesen und daraus, dass dies ein irreduzibles Polynom ist. Der Isomorphissatz ergibt die Isomorphie

${\displaystyle {}K=\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}+3X+5\right)}\cong \mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+4Y+7\right)}=L\,}$