Quadratische Ringerweiterung/R/Isomorphie/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}X^{2}-X+5={\left(X-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}+5={\left(X-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {19}{4}}\,,}$

dieses Polynom hat also keine reelle Nullstelle. Daher ist das Polynom irreduzibel nach Fakt und somit ist der Restklassenring ${\displaystyle {}A=\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}-X+5\right)}}$ nach Fakt ein Körper. Es ist

${\displaystyle {}Y^{2}+3Y+1={\left(Y+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}+1={\left(Y+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {5}{4}}\,,}$

${\displaystyle {}\mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+3Y+1\right)}}$