Quadratischer Zahlbereich/D ist -21/Klassengruppe/Aufgabe/Lösung

Die Diskriminante ist ${\displaystyle {}-84}$, jede Idealklasse wird nach Fakt durch ein Ideal der Norm ${\displaystyle {}\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}}$ repräsentiert, also ${\displaystyle {}\leq 6}$. Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf ${\displaystyle {}(2),(3)}$ oder ${\displaystyle {}(5)}$ runterschneiden. Der Ganzheitsring ist

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {-21}}]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+21)\,.}$

Für ein Element ${\displaystyle {}a+b{\sqrt {-21}}}$ ist die Norm gleich ${\displaystyle {}a^{2}+21b^{2}}$.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=2}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+21)\right)}/(2)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y+1)^{2}\,.}$

Das einzige Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(2)}$ ist also

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-21}})\,.}$

Dessen Norm ist ${\displaystyle {}2}$, es ist kein Hauptideal, da ${\displaystyle {}2}$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${\displaystyle {}(2)={\mathfrak {p}}^{2}\,.}$

Insbesondere ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$ in der Klassengruppe.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=3}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+21)\right)}/(3)=\mathbb {Z} /(3)[Y]/(Y^{2})\,.}$

Das einzige Primideal oberhalb von ${\displaystyle {}(3)}$ ist also

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}=(3,{\sqrt {-21}})\,.}$

Dessen Norm ist ${\displaystyle {}3}$, es ist kein Hauptideal, da ${\displaystyle {}3}$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${\displaystyle {}(3)={\mathfrak {q}}^{2}\,.}$

Insbesondere ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$ in der Klassengruppe.

Der Ring oberhalb von ${\displaystyle {}p=5}$ ist

${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+21)\right)}/(5)=\mathbb {Z} /(5)[Y]/(Y^{2}+1)=\mathbb {Z} /(5)[Y]/(Y+2)(Y+3)\,.}$

Die Primideale oberhalb von ${\displaystyle {}(5)}$ sind also

${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}=(5,2+{\sqrt {-21}})\,}$

und

${\displaystyle {}(5,3+{\sqrt {-21}})=(5,-2+{\sqrt {-21}})=(5,2-{\sqrt {-21}})={\overline {\mathfrak {r}}}\,.}$

Die Norm der beiden Ideale ist ${\displaystyle {}5}$, es sind keine Hauptideale, da ${\displaystyle {}5}$ nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist

${\displaystyle {}(5)={\mathfrak {r}}{\overline {\mathfrak {r}}}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}{\mathfrak {r}}=(25,10+5{\sqrt {-21}},-17+4{\sqrt {-21}})\,}$

mit der Norm ${\displaystyle {}25}$. Es ist

${\displaystyle {}-25+{\left(10+5{\sqrt {-21}}\right)}-{\left(-17+4{\sqrt {-21}}\right)}=2+{\sqrt {-21}}\in {\mathfrak {r}}^{2}\,.}$

Dieses Element besitzt die Norm ${\displaystyle {}25}$ und somit ist dieses Ideal nach Aufgabe ein Hauptideal . Daher ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}}$ ebenfalls ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}2}$ in der Klassengruppe.

Wir wissen also, dass die Klassengruppe von den drei Primidealen ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}},{\mathfrak {r}}}$ erzeugt wird, die alle die Ordnung zwei haben. Es kann aber zwischen diesen Elementen noch Relationen geben. Die Zweierprodukte ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}},{\mathfrak {p}}{\mathfrak {r}},{\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}$ besitzen die Normen ${\displaystyle {}6,10,15}$, die nicht als Normen von Elementen auftreten. Diese Produkte sind also keine Hauptideale. Betrachten wir das Produkt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}&={\left(2,1+{\sqrt {-21}}\right)}{\left(3,{\sqrt {-21}}\right)}{\left(5,2+{\sqrt {-21}}\right)}\\&={\left(30,12+6{\sqrt {-21}},10{\sqrt {-21}},15+15{\sqrt {-21}},...\right)}.\end{aligned}}}$

Das Element

${\displaystyle {}{\left(12+6{\sqrt {-21}}\right)}+10{\sqrt {-21}}-{\left(15+15{\sqrt {-21}}\right)}=-3+{\sqrt {-21}}\,}$

gehört zu diesem Produktideal. Es besitzt die Norm ${\displaystyle {}30}$ wie das Ideal, deshalb ist es ein Hauptideal. Daher ist dieses Ideal in der Klassengruppe trivial. Deshalb ist die Klassengruppe isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$.