Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Hauptideal/Norm/Aufgabe/Lösung

Wenn ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(f)}$ ist so folgt

${\displaystyle {}N({\mathfrak {a}})=\vert {N(f)}\vert \,}$

aus Fakt. Es sei umgekehrt ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$, das die Bedingung an die Norm erfülle. Dann gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus

${\displaystyle R/(f)\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},}$

wobei diese Ringe nach Fakt endlich sind. Die Gleichheit der Normen bedeutet, dass beide Anzahlen übereinstimmen und dass deshalb eine Bijektion vorliegt. Daher gilt

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(f)}$