Quartisches Polynom/Doppelte Tangente/Aufgabe/Lösung

Die Tangente an ${\displaystyle {}F}$ ist durch die Steigung und einen Punkt festgelegt. Es ist

${\displaystyle {}F'(x)=2(x-a)(x-b)^{2}+2(x-a)^{2}(x-b)+c\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}F'(a)=c\,.}$

Ferner ist

${\displaystyle {}F(a)=ca+d=T(a)\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}T(x)}$ hat die richtige Steigung und an ${\displaystyle {}a}$ den richtigen Wert, es handelt sich also um die Tangente. Wegen der Symmetrie der Situation gilt die entsprechende Aussage auch für ${\displaystyle {}b}$.