Quotientenkörper/Zwischenkörper/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}Q(S)}$ der Quotientenkörper von ${\displaystyle {}S}$. Wegen

${\displaystyle {}R\subseteq S\subseteq Q(S)\,}$

gibt es nach Fakt einen injektiven Ringhomomorphismus

${\displaystyle Q(R)\longrightarrow Q(S).}$

Wir behaupten, dass dieser auch surjektiv ist. Sei ${\displaystyle {}q\in Q(S)}$ mit der Darstellung

${\displaystyle {}q={\frac {s}{t}}\,}$

mit ${\displaystyle {}s,t\in S}$. Wegen ${\displaystyle {}S\subseteq Q(R)}$ gibt es wiederum Darstellngen ${\displaystyle {}s={\frac {a}{b}}}$ und ${\displaystyle {}t={\frac {c}{d}}}$ mit ${\displaystyle {}a,b,c,d\in R}$. Es ist

${\displaystyle {}q={\frac {s}{t}}=st^{-1}={\frac {a}{b}}\left({\frac {c}{d}}\right)^{-1}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}\,.}$

${\displaystyle {}q}$

${\displaystyle {}{\frac {ad}{bc}}}$