Rationale Funktion/Wert 1/Approximation/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}{\frac {x^{2}-5x+7}{x^{3}}}=1\,}$

Die Funktion hat an der Stelle ${\displaystyle {}1}$ den Wert

${\displaystyle {}{\frac {1^{2}-5+7}{1}}=3>1\,}$

und an der Stelle ${\displaystyle {}2}$ den Wert

${\displaystyle {}{\frac {4-10+7}{8}}={\frac {1}{8}}<1\,,}$

nach dem Zwischenwertsatz muss es also dazwischen ein Element mit dem Wert ${\displaystyle {}1}$ geben. Wir verwenden die Intervallhalbierung zur Approximation einer solchen Stelle. An der Stelle ${\displaystyle {}{\frac {3}{2}}}$ ist der Wert

${\displaystyle {}{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}-5\left({\frac {3}{2}}\right)+7}{\left({\frac {3}{2}}\right)^{3}}}={\frac {{\frac {9}{4}}-5\left({\frac {3}{2}}\right)+7}{\frac {27}{8}}}={\frac {18-60+56}{27}}={\frac {14}{27}}<1\,.}$

Eine Lösung muss sich also im Intervall ${\displaystyle {}[1,{\frac {3}{2}}]}$ befinden. An der Stelle ${\displaystyle {}{\frac {5}{4}}}$ ist

${\displaystyle {}{\frac {\left({\frac {5}{4}}\right)^{2}-5\left({\frac {5}{4}}\right)+7}{\left({\frac {5}{4}}\right)^{3}}}={\frac {4\cdot 25-25\cdot 16+7\cdot 64}{125}}={\frac {100-400+448}{125}}={\frac {148}{125}}>1\,.}$

Eine Lösung muss sich also im Intervall ${\displaystyle {}[{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}}]}$ befinden. An der Stelle ${\displaystyle {}{\frac {11}{8}}}$ ist

${\displaystyle {}{\frac {\left({\frac {11}{8}}\right)^{2}-5\left({\frac {11}{8}}\right)+7}{\left({\frac {11}{8}}\right)^{3}}}={\frac {8\cdot 121-55\cdot 64+7\cdot 512}{1331}}={\frac {968-3520+3584}{1331}}={\frac {1032}{1331}}<1\,.}$

${\displaystyle {}[{\frac {10}{8}},{\frac {11}{8}}]}$