Raumisometrie/Explizit/Eigenvektor/Aufgabe/Lösung

a) Es ist unmittelbar klar, dass die Spalten Orthonormalvektoren sind. Es ist auch direkt klar, dass der mittlere Spaltenvektor senkrecht auf den beiden anderen Spaltenvektoren steht. Ferner ist

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}=0\,.}$

Die Determinante ist nach Sarrus

${\displaystyle {}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}=1\,.}$

b) Es gibt einen Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$. Dieser ist der Kern von

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.}$

Dies führt zum linearen Gleichungssystem

${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{\sqrt {2}}}b+{\frac {1}{2}}c=0\,,}$

${\displaystyle {}-{\frac {1}{2}}a+{\frac {{\sqrt {2}}-1}{\sqrt {2}}}b+{\frac {1}{2}}c=0\,,}$

${\displaystyle {}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}a+{\frac {{\sqrt {2}}-1}{\sqrt {2}}}c=0\,.}$

Der Ansatz ${\displaystyle {}c=1}$ führt auf ${\displaystyle {}a={\sqrt {2}}-1}$ und auf

${\displaystyle {}b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}a-{\frac {\sqrt {2}}{2}}c=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\left({\sqrt {2}}-1\right)}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=-{\frac {2-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}}{2}}=-1\,.}$

Ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$ ist demnach

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}.}$