Regulärer Ring/Zweidimensional/Koszul-Auflösung/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein zweidimensionaler lokaler regulärer Ring mit dem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(x,y)}$. Dann ist

${\displaystyle 0\longrightarrow R{\stackrel {\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}R^{2}{\stackrel {(x,y)}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0}$

eine freie Auflösung des Restklassenkörpers ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}}$. Dieser besitzt also die projektive Dimension ${\displaystyle {}2}$. Die einzige Stelle, an der die Exaktheit nicht direkt klar ist, ist für ${\displaystyle {}R^{2}}$. Es seien ${\displaystyle {}(a,b)\in R^{2}}$ mit ${\displaystyle {}ax+by=0}$. Dies bedeutet ${\displaystyle {}ax=-by}$ und dies bedeutet ${\displaystyle {}ax=0}$ in ${\displaystyle {}R/(y)}$. Nach Fakt ist dies ein regulärer Ring der Dimension ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}x}$ erzeugt darin das maximale Ideal. Wegen Fakt ist ${\displaystyle {}R/(y)}$ ein Integritätsbereich und somit ist dort ${\displaystyle {}a=0}$. Dies heißt zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}R}$, dass ${\displaystyle {}a=cy}$ ist. Da ${\displaystyle {}y}$ ein Nichtnullteiler in ${\displaystyle {}R}$ ist, folgt ${\displaystyle {}b=-cx}$ und somit ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}\,.}$