Restklassenkörper/Natürliche Quadrate/Anteil/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl. Wir nennen die natürlichen Quadratzahlen ${\displaystyle {}<p}$ natürliche Quadrate und bezeichnen ihre Anzahl mit ${\displaystyle {}A(p)}$. Die Anzahl der Quadrate modulo ${\displaystyle {}p}$ bezeichnen wir mit ${\displaystyle {}Q(p)}$ (jeweils ${\displaystyle {}0}$ mitzählen).

a) Was ist die kleinste Primzahl ${\displaystyle {}p}$ derart, dass es ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ gibt, das keine natürliche Quadratzahl ist.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}{\frac {A(p)}{Q(p)}}}$ nicht monoton fallend ist.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}{\frac {A(p)}{Q(p)}}}$ gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert.

d) Was ist die kleinste Primzahl ${\displaystyle {}p}$ mit

${\displaystyle {}{\frac {A(p)}{Q(p)}}\leq {\frac {1}{5}}\,.}$