Restklassenkörper/Natürliche Quadrate/Anteil/Aufgabe/Lösung

a) In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$ ist

${\displaystyle {}2=3^{2}\,}$

ein Quadrat, aber kein natürliches Quadrat. Für ${\displaystyle {}p=2,3,5}$ gibt es das nicht.

b) Für ${\displaystyle {}p=47}$ ist der Quotient ${\displaystyle {}{\frac {7}{24}}}$, für ${\displaystyle {}p=53}$ ist der Quotient ${\displaystyle {}{\frac {8}{27}}}$, was größer ist.

c) Die Anzahl der natürlichen Quadrate ist

${\displaystyle {}A(z)=\left\lfloor {\sqrt {p}}\right\rfloor +1\,,}$

die Anzahl der Quadrate modulo ${\displaystyle {}p}$ ist ${\displaystyle {}{\frac {p+1}{2}}}$ (${\displaystyle {}p}$ ungerade). Es geht also um die Folge

${\displaystyle {}{\frac {\left\lfloor {\sqrt {p}}\right\rfloor +1}{\frac {p+1}{2}}}=2{\frac {\left\lfloor {\sqrt {p}}\right\rfloor +1}{p+1}}\,.}$

Die Abschätzungen

${\displaystyle {}{\frac {\left\lfloor {\sqrt {p}}\right\rfloor +1}{p+1}}\leq {\frac {{\sqrt {p}}+1}{p}}\leq {\frac {2{\sqrt {p}}}{p}}={\frac {2}{\sqrt {p}}}\,}$

zeigen, dass dies gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert.

d) Der Ausdruck

${\displaystyle {}2{\frac {\left\lfloor {\sqrt {p}}\right\rfloor +1}{p+1}}=\,}$

ist vergleichsweise klein für die größten Primzahlen unterhalb von Quadratzahlen. Für ${\displaystyle {}p=97}$ ist er

${\displaystyle {}2{\frac {10}{98}}>{\frac {1}{5}}\,,}$

für ${\displaystyle {}p=79}$ ist er

${\displaystyle {}2{\frac {9}{80}}>{\frac {1}{5}}\,,}$

für ${\displaystyle {}p=61}$ ist er

${\displaystyle {}2{\frac {8}{64}}>{\frac {1}{5}}\,,}$

u.s.w. Unterhalb von ${\displaystyle {}100}$ ist also der Quotient stets ${\displaystyle {}>{\frac {1}{5}}}$. Für

${\displaystyle {}p=107\,}$

gibt es ${\displaystyle {}11}$ natürliche Quadrate, und ${\displaystyle {}54}$ Quadratreste. Für

${\displaystyle {}p=109\,}$

gibt es ${\displaystyle {}11}$ natürliche Quadrate, und ${\displaystyle {}55}$ Quadratreste. Dabei ist

${\displaystyle {}{\frac {11}{54}}>{\frac {1}{5}}={\frac {11}{55}}\,.}$

Deshalb ist ${\displaystyle {}p=109}$