Riemann-integral/Stetige Funktion/Treppenfunktion zu Werten/Aufgabe/Lösung

Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ sei

${\displaystyle {}y_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot s_{k}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}s_{k}}$ das Minimum von ${\displaystyle {}f}$ auf dem Teilintervall ${\displaystyle {}[a+k{\frac {b-a}{n}},a+(k+1){\frac {b-a}{n}}]}$ sei. D.h., dass ${\displaystyle {}y_{n}}$ das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion bezüglich der äquidistanten Unterteilung in ${\displaystyle {}n}$ Teilintervalle ist. Die Folge ${\displaystyle {}y_{n}}$ konvergiert gegen das bestimmte Integral (vergleiche Aufgabe). Wir zeigen, dass ${\displaystyle {}x_{n}-y_{n}}$ gegen ${\displaystyle {}0}$ konvergiert, sodass ${\displaystyle {}x_{n}}$ ebenfalls gegen das bestimmte Integral konvergiert.

Sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Nach Fakt ist ${\displaystyle {}f}$ gleichmäßig stetig. Das bedeutet, dass es zu

${\displaystyle {}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}\,}$

ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart gibt, dass aus

${\displaystyle {}\vert {t-t'}\vert \leq \delta \,}$

die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {f(t)-f(t')}\vert \leq \epsilon '\,}$

folgt. Es sei nun ${\displaystyle {}n}$ derart, dass

${\displaystyle {}{\frac {b-a}{n}}\leq \delta \,}$

ist. Die Länge der Teilintervalle ${\displaystyle {}[a+k{\frac {b-a}{n}},a+(k+1){\frac {b-a}{n}}]}$ ist somit ${\displaystyle {}\leq \delta }$. Dies bedeutet, dass

${\displaystyle {}\vert {f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}}\vert \leq \epsilon '\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert &\leq \vert {\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot s_{k}}\vert \\&={\frac {b-a}{n}}\cdot \vert {\sum _{k=0}^{n-1}f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}}\vert \\&={\frac {b-a}{n}}\cdot \vert {\sum _{k=0}^{n-1}{\left(f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}\right)}}\vert \\&\leq {\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}\vert {f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}}\vert \\&\leq {\frac {b-a}{n}}\cdot n\cdot \epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}}$