Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

Zu einem Punkt ${}P\in X$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist der Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ der holomorphen Funktionen isomorph zum Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen.
Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich ${}0$ .
Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ . Dann definiert die natürliche Abbildung
$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\times H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(\theta ,c)\longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )(c)\right),$

eine
vollständige Dualität.