Rotationsfläche/Hauptkrümmungen/Beispiel

Es sei ${\displaystyle {}I}$ ein offenes Intervall und ${\displaystyle {}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ eine differenzierbare Funktion, es sei ${\displaystyle {}Y}$ die zugehörige Rotationsfläche (um die ${\displaystyle {}x}$-Achse) zum Graphen von ${\displaystyle {}f}$ und sei

${\displaystyle {}P={\begin{pmatrix}x_{0}\\f(x_{0})\\0\end{pmatrix}}\in Y\,}$

(was keine wesentliche Einschränkung ist). Wir betrachten den Ausschnitt der Rotationsfläche oberhalb von ${\displaystyle {}{\left\{(x,z)\mid z^{2}<f(x_{0})\right\}}}$ als den Graphen zu

${\displaystyle {}g(x,z)={\sqrt {f(x)^{2}-z^{2}}}={\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{1/2}\,.}$

Die Jacobi-Matrix von ${\displaystyle {}g}$ ist

${\displaystyle \left({\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}f(x)f'(x),\,-z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}\right)}$

und die Hesse-Matrix von ${\displaystyle {}g}$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)\\z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}-z^{2}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}\end{pmatrix}}}$

bzw. das ${\displaystyle {}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}}$-Vielfache von

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}-f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}-z^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}f(x)^{3}f^{\prime \prime }(x)-z^{2}f'(x)^{2}-z^{2}f(x)f^{\prime \prime }(x)&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-f(x)^{2}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}}$

Für den gewählten Punkt ${\displaystyle {}P}$ ist dies

${\displaystyle {}{\frac {1}{f(x_{0})^{3}}}{\begin{pmatrix}f(x_{0})^{3}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-f(x_{0})^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}\,.}$

Nach Fakt ist die Weingartenabbildung in ${\displaystyle {}P}$ gleich

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}{\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}.}$

Somit sind die beiden Hauptkrümmungen gleich ${\displaystyle {}{\frac {f^{\prime \prime }(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}}$ und ${\displaystyle {}-{\frac {1}{f(x_{0}){\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}}}$, die Hauptkrümmungsrichtungen sind die Standardvektoren bzw. ihre Bilder ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\f'(x_{0})\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$ im Tangentialraum ${\displaystyle {}T_{P}Y}$. Die Hauptkrümmungsrichtungen verlaufen also längs des Graphen zu ${\displaystyle {}f}$ und längs der Kreisbewegung der Rotation. Die Gaußkrümmung ist

${\displaystyle {\frac {-f^{\prime \prime }(x_{0})}{f(x_{0}){\left(1+f'(x_{0})^{2}\right)}}}.}$