Sinusfunktion/Komplex/Reelle Nullstellen/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist

${\displaystyle {}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.}$

Die Bedingung ${\displaystyle {}\sin z=0}$ führt also auf

${\displaystyle {}\exp \left({\mathrm {i} }z\right)=\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\,.}$

Nach Fakt sind diese beiden Zahlen invers zueinander, es muss also

${\displaystyle {}u=u^{-1}\,}$

sein, was auf ${\displaystyle {}u=\pm 1}$ führt. Es ist also

${\displaystyle {}\exp {\mathrm {i} }z=\pm 1\,}$

zu untersuchen. Mit

${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }\,}$

führt dies mit Fakt  (1) auf die Bedingung

${\displaystyle {}\exp \left({\mathrm {i} }(a+b{\mathrm {i} })\right)=\exp(a{\mathrm {i} }-b)=\exp \left(-b\right){\left(\cos \left(a\right)+{\mathrm {i} }\sin a\right)}=\pm 1\,.}$

Dies erfordert einerseits ${\displaystyle {}\sin a=0}$ und andererseits

${\displaystyle {}\exp \left(-b\right)=1\,,}$

also nach Fakt ${\displaystyle {}b=0}$. Also muss

${\displaystyle {}z=a\,}$