Spaltenstochastische Matrix/Verschiebungsraum/Einschränkung asymptotisch stabil/Aufgabe/Lösung

a) Es sei

${\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,.}$

Für ${\displaystyle {}u={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\in U}$ ist

${\displaystyle {}\varphi (u)={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}u_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{nj}u_{j}\end{pmatrix}}\,}$

und daher

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}(Mu)_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}u_{j}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}=0\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}Mu\in U}$.

b) Nach Fakt ist ${\displaystyle {}M}$ selbst stabil. Aufgrund von Fakt ist klar, dass die Einschränkung einer stabilen Abbildung auf einen invarianten Untervektorraum wieder stabil ist. Daher ist die Einschränkung ${\displaystyle {}M{|}_{U}}$ stabil.

c) Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Einheitsmatrix auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq 2}$.

${\displaystyle {}U}$