Spur/Nicht multiplikativ/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten ${\displaystyle {}n=2}$ und die Matrizen

${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}B={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,}$

über einem beliebigen Körper ${\displaystyle {}K}$. Es ist

${\displaystyle {}AB={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,}$

und somit ${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(A\right)}=1}$, ${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(B\right)}=1}$ und

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(AB\right)}=\operatorname {Spur} {\left(0\right)}=0\neq 1=\operatorname {Spur} {\left(A\right)}\operatorname {Spur} {\left(B\right)}\,.}$