Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt/Beweis

Zunächst sind nach Fakt die Stufen ${\displaystyle {}M_{d}}$ endlichdimensional, sodass die Hilbertfunktion wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung ist das irrelevante Ideal ${\displaystyle {}R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}}$ endlich erzeugt, und zwar wird es von Elementen aus ${\displaystyle {}R_{1}}$ erzeugt. Wir führen Induktion über die Erzeugendenanzahl ${\displaystyle {}r}$ dieses Ideals. Bei ${\displaystyle {}r=0}$ ist ${\displaystyle {}R=R_{0}=K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}M}$ ist als ganzes ein endlichdimensionaler Vektorraum. Deshalb sind alle Stufen ${\displaystyle {}M_{d}}$ zu hinreichend großen ${\displaystyle {}d}$ gleich ${\displaystyle {}0}$. Zum Induktionsschluss sei ${\displaystyle {}R_{+}=(f_{1},\ldots ,f_{r})}$ und ${\displaystyle {}M}$ ein endlicher erzeugter graduierter ${\displaystyle {}R}$-Modul. Der Restklassenring ${\displaystyle {}S=R/(f_{r})}$ ist ebenfalls standard-graduiert und sein irrelevantes Ideal besitzt einen Erzeuger weniger, auf ihn können wir also die Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Restklassenmodul ${\displaystyle {}N=M/(f_{r})M}$ ist (ein graduierter ${\displaystyle {}R}$- und damit auch) ein graduierter ${\displaystyle {}S}$-Modul. Folglich gibt es ein Polynom

${\displaystyle {}Q\in \mathbb {Q} [X]\,}$

mit ${\displaystyle {}H_{N}(d)=Q(d)}$ für ${\displaystyle {}d}$ hinreichend groß. Es liegt eine exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow L={\left\{m\in M\mid f_{r}\cdot m=0\right\}}\longrightarrow M{\stackrel {\cdot f_{r}}{\longrightarrow }}M(1)\longrightarrow {\left(M/f_{r}M\right)}(1)\longrightarrow 0}$

von graduierten endlich erzeugten ${\displaystyle {}R}$-Moduln vor. Dabei ist der Modul links ebenfalls ein ${\displaystyle {}S}$-Modul, und somit gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein weiteres Polynom ${\displaystyle {}T\in \mathbb {Q} [X]}$ mit ${\displaystyle {}H_{L}(d)=T(d)}$ für ${\displaystyle {}d}$ hinreichend groß. Da sich die Vektorraumdimensionen für exakte Komplexe von ${\displaystyle {}K}$-Vektorräumen additiv verhalten, gilt

${\displaystyle {}H_{M}(d+1)-H_{M}(d)=H_{N}(d)-H_{L}(d)=Q(d)-T(d)\,}$

für ${\displaystyle {}d}$ hinreichend groß. Ab einem gewissen ${\displaystyle {}d_{0}}$ verhält sich also der Zuwachs von ${\displaystyle {}H_{M}(d)}$ polynomial und daher ist nach Fakt die Funktion ${\displaystyle {}H_{M}(d)}$ selbst polynomial.