Terminterpretation/Aussage/Verschiedene Strukturen/1/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}N}$ ein einstelliges Funktionssymbol, ${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}G}$ seien zweistellige Funktionssymbole und ${\displaystyle {}x,y}$ seien Variablen.

Wir betrachten die folgenden Modelle (wobei ${\displaystyle {}M}$ die Grundmenge bezeichnet).

a) ${\displaystyle {}M=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}N}$ ist die Quadrierung, ${\displaystyle {}F}$ die Addition und ${\displaystyle {}G}$ die Multiplikation.

b) ${\displaystyle {}M=C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ unendlich oft differenzierbar}}\right\}}}$, ${\displaystyle {}N}$ ist das Differenzieren von Funktionen, ${\displaystyle {}F}$ die Multiplikation und ${\displaystyle {}G}$ die Addition von Funktionen. Bestimme, ob in diesen Modellen die folgenden Aussagen wahr werden.

1. ${\displaystyle \forall x\forall y{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.}$

2. ${\displaystyle \forall y\exists x{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.}$

3. ${\displaystyle \exists y\forall x{\left(NFxy=GFxNyFNxy\right)}.}$