Terminterpretation/Aussage/Verschiedene Strukturen/1/Aufgabe/Lösung

Im ersten Modell ist ${\displaystyle {}NFxy}$ als ${\displaystyle {}(x+y)^{2}}$ und ${\displaystyle {}GFxNyFNxy}$ als ${\displaystyle {}(x+y^{2})\cdot (x^{2}+y)}$ zu interpretieren, wobei ${\displaystyle {}x,y}$ reelle Zahlen sind.

1. Die Gleichung

   ${\displaystyle {}(x+y)^{2}=(x+y^{2})\cdot (x^{2}+y)\,}$

   gilt in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ definitiv nicht für alle reelle Zahlen, beispielsweise gilt sie für ${\displaystyle {}x=1}$ und ${\displaystyle {}y=2}$ nicht.

2. Wir schreiben die Gleichung als

   ${\displaystyle {}y^{3}+x^{2}y^{2}+x^{3}+xy-x^{2}-2xy-y^{2}=0\,.}$

   Für ein beliebiges aber fixiertes ${\displaystyle {}x}$ ist der Ausdruck links ein normiertes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}3}$ in ${\displaystyle {}y}$. Dieses besitzt nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle, deshalb ist die Aussage wahr.

3. Zu jedem ${\displaystyle {}y}$ ist der Ausdruck links aus (2) ein Polynom in ${\displaystyle {}x}$ vom Grad ${\displaystyle {}3}$, also definitiv nicht das Nullpolynom, die Aussage ist also falsch.

Im zweiten Modell ist ${\displaystyle {}NFxy}$ als ${\displaystyle {}(x\cdot y)'}$ und ${\displaystyle {}GFxNyFNxy}$ als ${\displaystyle {}(x'\cdot y)+(x\cdot y')}$ zu interpretieren, wobei ${\displaystyle {}x,y}$ unendlich oft differenzierbare Funktionen sind. Dies ist die Produktregel für die Ableitung, also wahr für beliebige ${\displaystyle {}x,y}$. Damit gilt insbesondere auch (2) und (3), da es ja unendlich oft differenzierbare Funktionen gibt.