Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Fakt/Beweis

Es sei zunächst ${\displaystyle {}U\in \tau }$ und ${\displaystyle {}x\in U}$. Dann ist ${\displaystyle {}U}$ selbst eine Umgebung von ${\displaystyle {}x}$. Ist nun ${\displaystyle {}V_{x}\subseteq U}$ eine Umgebung von ${\displaystyle {}x}$, so gibt es nach Definition eine Menge ${\displaystyle {}W_{x}\in \tau }$ mit ${\displaystyle {}x\in W_{x}\subseteq V_{x}}$. Dann ist ${\displaystyle {}U=\bigcup _{x\in U}W_{x}\in \tau }$ nach Axiom 3.