Torus/Lokale Konstante Funktionen/Erste Kohomologie/Beispiel

Wir betrachten ein Gitter ${\displaystyle {}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }}$ und die Restklassengruppe

${\displaystyle {}T={\mathbb {C} }/\Gamma \cong S^{1}\times S^{1}\,.}$

Wir arbeiten mit der offenen Überdeckung zu den offenen Mengen ${\displaystyle {}U_{1},U_{2},U_{3},U_{4}\subseteq T}$, die aus den homöomorphen Bildern von

${\displaystyle {}{\tilde {U}}_{1}={\left\{rv_{1}+sv_{2}\mid -{\frac {1}{8}}<r<{\frac {5}{8}},\,-{\frac {1}{8}}<s<{\frac {5}{8}}\right\}}\,,}$

${\displaystyle {}{\tilde {U}}_{2}={\left\{rv_{1}+sv_{2}\mid -{\frac {1}{8}}<r<{\frac {5}{8}},\,{\frac {3}{8}}<s<{\frac {9}{8}}\right\}}\,,}$

${\displaystyle {}{\tilde {U}}_{3}={\left\{rv_{1}+sv_{2}\mid {\frac {3}{8}}<r<{\frac {9}{8}},\,-{\frac {1}{8}}<s<{\frac {5}{8}}\right\}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\tilde {U}}_{4}={\left\{rv_{1}+sv_{2}\mid {\frac {3}{8}}<r<{\frac {9}{8}},\,{\frac {3}{8}}<s<{\frac {9}{8}}\right\}}\,}$

besteht. Wenn man diese Mengen in das Fundamentalparallelogramm malt, bestehen sie jeweils aus vier Teilen. Die Durchschnitte ${\displaystyle {}U_{i}\cap U_{j}}$ bestehen aus zwei oder aus vier disjunkten Rechtecken, es liegt eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft aus Fakt für die Garbe der lokal konstanten Funktionen vor. Wenn man einen Kreis durch zwei offene Kreissegmente ${\displaystyle {}C_{1}}$ und ${\displaystyle {}C_{2}}$ überdeckt, deren Durchschnitt aus zwei Intervallen besteht, und für einen weiteren Kreis die Segmente ${\displaystyle {}D_{1}}$ und ${\displaystyle {}D_{2}}$ nennt, so geht es einfach um die Produktmengen ${\displaystyle {}C_{i}\times D_{j}}$ auf dem Torus. Es sei

${\displaystyle {}C_{1}\cap C_{2}=F_{1}\uplus F_{2}\,}$

und

${\displaystyle {}D_{1}\cap D_{2}=G_{1}\uplus G_{2}\,.}$

Dann ist beispielsweise

${\displaystyle {}{\begin{aligned}C_{1}\times D_{1}\cap C_{1}\times D_{2}&=C_{1}\times {\left(D_{1}\cap D_{2}\right)}\\&=C_{1}\times {\left(G_{1}\uplus G_{2}\right)}\\&=C_{1}\times G_{1}\uplus C_{1}\times G_{2}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}C_{1}\times D_{1}\cap C_{2}\times D_{2}&={\left(C_{1}\cap C_{2}\right)}\times {\left(D_{1}\cap D_{2}\right)}\\&={\left(F_{1}\uplus F_{2}\right)}\times {\left(G_{1}\uplus G_{2}\right)}\\&=F_{1}\times G_{1}\uplus F_{1}\times G_{2}\uplus F_{2}\times G_{1}\uplus F_{2}\times G_{2}.\end{aligned}}}$

Jede Kohomologieklasse für der Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ wird repräsentiert als eine Summe von zwei Kohomologieklassen, die sich jeweils im Wesentlichen von einem Kreis herrührt: Auf der Überdeckung ${\displaystyle {}C_{1}\times S^{1},C_{2}\times S^{1}}$ mit dem Wert ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$ auf ${\displaystyle {}F_{1}\times S^{1}}$ und dem Wert ${\displaystyle {}0}$ auf ${\displaystyle {}F_{2}\times S^{1}}$ und auf der Überdeckung ${\displaystyle {}S^{1}\times D_{1},S^{1}\times D_{2}}$ mit dem Wert ${\displaystyle {}b\in {\mathbb {C} }}$ auf ${\displaystyle {}S^{1}\times G_{1}}$ und dem Wert ${\displaystyle {}0}$ auf ${\displaystyle {}S^{1}\times G_{2}}$. Die Kohomologie rührt also von den Projektionen her. Es ist also

${\displaystyle {}H^{1}(T,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}\,.}$

Wie kann man darin das Bild von ${\displaystyle {}H^{0}(T,\Omega _{T})}$ charakterisieren? Auf der oben angebenen offenen Überdeckung erhält man überall ${\displaystyle {}dz}$. Die holomorphe Funktion ${\displaystyle {}z}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ liefert für jedes ${\displaystyle {}U_{i}}$ eine holomorphe Funktion ${\displaystyle {}z_{i}}$, die allerdings nicht zu einer globalen holomorphen Funktion zusammenkleben. Dies sieht man, wenn man das Fundamentalparallelogramm betrachtet. Wir bestimmen also ${\displaystyle {}z_{i}}$ auf dem Fundamentalparallelogramm, wobei wir mit ${\displaystyle {}z}$ darauf vergleichen. Die Funktion ${\displaystyle {}z_{1}}$ auf ${\displaystyle {}U_{1}}$ liefert links unten in der Tat ${\displaystyle {}z}$, aber auf den Umklappungen links oben die Funktion ${\displaystyle {}z-v_{2}}$, rechts unten ${\displaystyle {}z-v_{1}}$ und rechts oben ${\displaystyle {}z-v_{1}-v_{2}}$. Die Funktion ${\displaystyle {}z_{2}}$ ist links unten ${\displaystyle {}z+v_{2}}$, links oben ${\displaystyle {}z}$, rechts oben ${\displaystyle {}z-v_{2}}$ und rechts unten ${\displaystyle {}z-v_{1}+v_{2}}$. Die Funktion ${\displaystyle {}z_{3}}$ ist links unten ${\displaystyle {}z-v_{1}}$, links oben ${\displaystyle {}z-v_{1}+v_{2}}$, rechts oben ${\displaystyle {}z+v_{2}}$ und rechts unten ${\displaystyle {}z}$. Die Funktion ${\displaystyle {}z_{4}}$ ist links unten ${\displaystyle {}z+v_{1}+v_{2}}$, links oben ${\displaystyle {}z+v_{1}}$, rechts oben ${\displaystyle {}z}$ und rechts unten ${\displaystyle {}z+v_{2}}$. Die Differenzen sind.

Auf ${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{2}}$ die Werte ${\displaystyle {}0}$ bzw. ${\displaystyle {}-v_{2}}$, auf ${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{3}}$ die Werte ${\displaystyle {}0}$ bzw. ${\displaystyle {}v_{1}}$. Der Durchschnitt ${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{4}}$ besteht aus vier Teilen, die im Parallelogramm neun Teile zerfallen. Die vier Eckteile gehören zusammen, die beiden mittleren Randteile links und rechts, die beiden mittleren Randteile oben und unten und der mittlere Teil. Die Werte von ${\displaystyle {}z_{1}-z_{4}}$ darauf sind in dieser Reihenfolge gleich ${\displaystyle {}-v_{1}-v_{2},-v_{2},-v_{1},0}$.