Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Fakt/Beweis

${\displaystyle {}z\in Z}$

${\displaystyle {}\Vert {v+z}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v}\Vert \,}$

und ebenso

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \leq \Vert {v+z}\Vert +\Vert {-z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert +\Vert {z}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,,}$

also ist

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =\Vert {v+z}\Vert \,.}$

Die Halbnorm induziert also eine wohldefinierte Abbildung auf dem Restklassenraum ${\displaystyle {}V/Z}$. Dabei bleiben alle Eigenschaften einer Halbnorm erhalten. Ferner gilt ${\displaystyle {}\Vert {[v]}\Vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}v\in Z}$ ist, also ${\displaystyle {}[v]=0}$ in ${\displaystyle {}V/Z}$. Daher liegt eine Norm vor.