Wendepunkt/Dreimal stetig differenzierbar/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}f^{\prime \prime \prime }(x)>0}$, der negative Fall wird genauso behandelt. Wegen der dreifachen stetigen Differenzierbarkeit ist ${\displaystyle {}f^{\prime \prime \prime }}$ stetig und somit gibt es ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ derart, dass ${\displaystyle {}f^{\prime \prime \prime }}$ auf ganz ${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]}$ positiv ist. Dann ist ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }}$ nach Fakt streng wachsend und somit ist wegen ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(x)=0}$ die zweite Ableitung ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }}$ auf ${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x[}$ negativ und auf ${\displaystyle {}]x,x+\epsilon ]}$ positiv. Damit ist ${\displaystyle {}f'}$ auf ${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x[}$ fallend und auf ${\displaystyle {}]x,x+\epsilon ]}$ wachsend und damit ist nach Fakt

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}[x-\epsilon ,x[}$

${\displaystyle {}]x,x+\epsilon ]}$