Windschiefe Geraden/Abstand/1/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}4\\4\\-3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}5\\7\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}29\\-23\\8\end{pmatrix}}\,,}$

dieser Vektor steht nach Fakt  (6) senkrecht auf den beiden Geraden. Der zugehörige normierte Vektor ist

${\displaystyle {}u={\frac {1}{\sqrt {29^{2}+23^{2}+8^{2}}}}{\begin{pmatrix}29\\-23\\8\end{pmatrix}}\,.}$

Nach Fakt ist der Abstand der beiden Geraden gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d(G,H)&=\vert {\left\langle P-Q,u\right\rangle }\vert \\&={\frac {1}{\sqrt {29^{2}+23^{2}+8^{2}}}}\vert {\left\langle {\begin{pmatrix}-1\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}29\\-23\\8\end{pmatrix}}\right\rangle }\vert \\&={\frac {1}{\sqrt {1434}}}\vert {-29-207-24}\vert \\&={\frac {260}{\sqrt {1434}}}.\end{aligned}}}$