Z modulo p/Quadratische Erweiterung/Fakt/Beweis

In Charakteristik ${\displaystyle {}2}$ ist dies ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}}$. Die Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ sei also ungerade. Wir gehen vom Restklassenkörper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ aus. Nach Fakt gibt es darin ein Element ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} /(p)}$, das kein Quadrat ist. Das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}-a\in \mathbb {Z} /(p)[X]}$ ist nach Fakt irreduzibel, da es keine Nullstelle besitzt. Daher ist

${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\,}$

ein Körper nach Fakt. Dieser besitzt ${\displaystyle {}p^{2}}$ viele Elemente.

Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei ${\displaystyle {}L}$ ein Körper mit ${\displaystyle {}p^{2}}$ vielen Elementen. Er enthält den Primkörper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ und daher liegt eine quadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)\subset L}$ vor. Nach Fakt (in Charakteristik ${\displaystyle {}2}$ muss man etwas anders argumentieren) ist

${\displaystyle {}L\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\,}$

mit ${\displaystyle {}X^{2}-a}$ irreduzibel, also ${\displaystyle {}a}$ kein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$. Der Körper kann also auf die eingangs beschriebene Form gebracht werden. Es sei nun ${\displaystyle {}K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}}$ und ${\displaystyle {}L\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)}}$ mit ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Z} /(p)}$, die keine Quadrate seien. Nach Aufgabe ist ${\displaystyle {}a/b}$ ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$, sagen wir ${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}=c^{2}}$ bzw. ${\displaystyle {}a=c^{2}b}$. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} /(p)[X]\longrightarrow \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)},\,X\longmapsto cY.}$

Dieser ist surjektiv wegen ${\displaystyle {}\varphi {\left(c^{-1}X\right)}=Y}$. Ferner ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(X^{2}-a\right)}=c^{2}Y^{2}-a=c^{2}Y^{2}-c^{2}b=c^{2}{\left(Y^{2}-b\right)}=0\,.}$

Also gehört ${\displaystyle {}X^{2}-a}$ zum Kern und wegen der Irreduzibilität ist der Kern gleich ${\displaystyle {}{\left(X^{2}-a\right)}}$. Nach Fakt erhalten wir eine Isomorphie

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}-a\right)}\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-b\right)}\,.}$