Z und Zi/Zwischenringe/Aufgabe/Lösung

a) Zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ kann man

${\displaystyle {}R_{n}={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid a,b\in \mathbb {Z} ,\,b{\text{ ist Vielfaches von }}n\right\}}={\left\{a+cn{\mathrm {i} }\mid a,c\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

betrachten. Wegen

${\displaystyle {}{\left(a+cn{\mathrm {i} }a+cn\right)}{\left(d+en{\mathrm {i} }\right)}=ad-cen^{2}{\left(ae+cd\right)}n{\mathrm {i} }\,}$

ist dies ein Unterring.

b) Mit den Bezeichnungen aus (a) haben wir die Kette

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\supset R_{2}\supset R_{4}\supset R_{8}\,.}$

Die Inklusionen sind echt, da ja ${\displaystyle {}2^{k}{\mathrm {i} }\in R_{2^{k}}}$, aber ${\displaystyle {}2^{k}{\mathrm {i} }\in R_{2^{k+1}}}$ gilt.

c) Es sei

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subset R\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\,.}$

Dann gibt es ein Element ${\displaystyle {}m+n{\mathrm {i} }\in R\setminus \mathbb {Z} }$, also ${\displaystyle {}n\neq 0}$. Dann ist auch ${\displaystyle {}n{\mathrm {i} }\in R}$ und damit

${\displaystyle {}R_{n}\subseteq R\,}$

mit der Bezeichnung aus Teil (a). Es genügt daher insbesondere zu zeigen, dass es oberhalb von ${\displaystyle {}R_{n}}$ keineunendliche Kette gibt. Für einen Ring

${\displaystyle {}R_{n}\subset S\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\,}$

gibt es eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}{\tilde {n}}}$ mit ${\displaystyle {}{\tilde {n}}{\mathrm {i} }\in S}$,

${\displaystyle {}{\tilde {n}}{\mathrm {i} }\notin R_{n}\,,}$

und das bedeutet, dass ${\displaystyle {}{\tilde {n}}}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}n}$ ist. Dann ist der größte gemeinsame Teiler von ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}{\tilde {n}}}$, nennen wir ihn ${\displaystyle {}n'}$, echt kleiner als ${\displaystyle {}n}$. Aufgrund des Lemmas von Bezout ist ${\displaystyle {}n'\in S}$ und somit ist

${\displaystyle {}R_{n}\subset R_{n'}\subseteq S\,.}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}R_{n}}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$