Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt/Beweis2

Es sei ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ eine Ganzheitsbasis von ${\displaystyle {}R}$. Es ist zu zeigen, dass die ${\displaystyle {}\tau ^{\mathbb {R} }(b_{k})}$, ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n}$, linear unabhängig sind. Es ist

${\displaystyle {}\tau ^{\mathbb {R} }(b)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(b)\\\vdots \\\rho _{r}(b)\\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b)\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b)\right)}\\\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b)\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b)\right)}\end{pmatrix}}\,.}$

Wäre etwa

${\displaystyle {}\tau ^{\mathbb {R} }(b_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}\tau ^{\mathbb {R} }(b_{k})\,}$

mit ${\displaystyle {}c_{k}\in \mathbb {R} }$, so wäre insbesondere

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}\end{pmatrix}}=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}{\begin{pmatrix}\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}\end{pmatrix}}\,}$

und damit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sigma _{j}(b_{n})&=\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}+{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}{\left(\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}+{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}\sigma _{j}(b_{k})\end{aligned}}}$

und ebenso

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\overline {\sigma }}_{j}(b_{n})&=\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{n})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}{\left(\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{j}(b_{k})\right)}\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}c_{k}{\overline {\sigma }}_{j}(b_{k}).\end{aligned}}}$

D.h. in diesem Fall könnte man auch das Tupel ${\displaystyle {}(\varphi (b_{n}))_{\varphi }}$ zu allen komplexen Einbettungen ${\displaystyle {}\varphi }$ als Linearkombination der übrigen Tupel ${\displaystyle {}(\varphi (b_{k}))_{\varphi }}$, ${\displaystyle {}k=1,\ldots ,n-1}$, ausdrücken. Dies widerspricht aber der Tatsache, dass die Diskriminante von ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ ist, siehe Fakt.