Zahlbereich/Einheiten/Potenzbeziehung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle L\colon R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} ^{r+s-1}\subseteq \mathbb {R} ^{r+s},}$

wobei die hintere Identifizierung auf dem Dirichletschen Einheitensatz beruht. Nach Voraussetzung ist (additiv geschrieben)

${\displaystyle {}aL(u)=bL(v)\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{r+s}}$. Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}L(u)}$ und ${\displaystyle {}L(v)}$ als Vektoren im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{r+s}}$ linear abhängig sind und auf einer Geraden liegen. Da das Bild der Einheitengruppe unter ${\displaystyle {}L}$ diskret ist, liegen sie auf einer diskreten Geraden. D.h. es gibt ein ${\displaystyle {}w\in R^{\times }}$ und ${\displaystyle {}c,d\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle {}L(u)=cL(w)}$ und ${\displaystyle {}L(v)=dL(w)}$. Das bedeutet, dass modulo der Einheitenwurzelgruppe ${\displaystyle {}u}$ gleich ${\displaystyle {}w^{c}}$ und ${\displaystyle {}v}$ gleich ${\displaystyle {}w^{d}}$ ist. Ausgeschrieben bedeutet dies, dass es Einheitswurzeln ${\displaystyle {}\zeta ,\xi }$ in ${\displaystyle {}R}$ gibt mit ${\displaystyle {}u=\zeta w^{c}}$ und

${\displaystyle {}v=\xi w^{d}}$