Zahlbereich/Idealnorm/Primidealzerlegung/Fakt/Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Zahlbereiche ist

${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,}$

und somit ist

${\displaystyle {}N({\mathfrak {a}})=N({\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}})\cdots N({\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}})\,.}$

Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{r}}$ zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über ${\displaystyle {}r}$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {p}}^{r}}$ eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vor. Dabei ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}={\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r+1}R_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=R/{\mathfrak {p}}\,.}$

Deshalb ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}N({\mathfrak {p}}^{r+1})&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\\&={\#\left({\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&=N({\mathfrak {p}})\cdot N({\mathfrak {p}})^{r}\\&=N({\mathfrak {p}})^{r+1}.\end{aligned}}}$